理学部数学科の一年生が学ぶ数学の内容を現役数学科生が紹介します

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かんまる
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こんにちは!現役数学科学生のかんまるです!

この記事では、理学部数学科の1年生が学ぶ数学はどんなものかを紹介しています。なるべく専門用語を使わずに説明していますので、高校生などでも肩の力を抜いて読んでいただけますよ!

この記事はこんな方にオススメ!
・数学科志望の高校生・浪人生の方
・数学科1年生の方

数学科の1年生が学ぶ数学とは

数学科の1年生は、今後の専門数学に向けた準備段階と言えます。
専門数学を学ぶために必要な知識を学ぶのはもちろん、大学数学に慣れるために基礎から徹底的に学習します。

具体的に数学科の1年生が学ぶ内容は以下の通りです。

数学科1年生が学ぶ内容

集合論 → 数学の土台となる集合や写像と呼ばれる重要な理論を学ぶ
微分積分学 → 高校の数学Ⅲの微積をさらに厳密に発展的な内容を学ぶ
線型代数学 → 行列や線型空間と呼ばれる重要な理論を学ぶ
解析学 → 極限や関数などを厳密に学ぶ

またこれらの授業以外にもセミナー形式の授業をする大学も多いです。セミナー授業とは、少人数のグループに分かれ、各自専門書を読み、読んだ内容を発表する授業です。
これらの授業を通して数学の基礎を身につけ、大学数学に慣れていきます。

ここから、上で紹介した各分野をもう少し詳しく紹介します。

集合論とは

集合論では、集合や写像と呼ばれる重要な理論を学びます。

用語解説 集合とは

集合とは、簡単に言うとモノの集まりです。ここでいうモノとは、数、点、関数、文字などがあります。高校数学でも学んだので知ってる方も多いかもです。

「整数全体」「1以上10以下の実数」「二次関数全体」などは集合の例です。
逆に「めっちゃ大きい数の集まり」「見た目が綺麗な関数全体」などは、はっきりと定めることができないので集合ではありません。

専門数学にとって集合はとても重要です。どんな分野にも集合が意識されます。
例えばあるモノを考えるときそのモノがどんな集合に属するのかを考えたり、ある集合内のモノ同士の関係を考えたりします。

用語解説 写像とは

写像とは、2つの集合間の規則のようなものです。1つ目の集合の中のあるモノに写像を作用させると2つ目の集合の中のモノになるという感じです。

例えば、高校数学で学ぶ「数列」は、「自然数全体の集合」から「実数全体の集合」への写像と言えます。

こちらの写像もとても重要です。数学を勉強していると写像を考えない日はありません。
例えばある写像がどのような性質を満たすのかを考えたりします。

これら集合や写像はかなり重要な理論であるとともに、抽象的な議論が必要になる場面もあります。集合論を勉強することは、抽象的な数学に慣れるための第一歩と言えるでしょう。

微分積分学とは

微分積分は、理系の学生なら慣れ親しんだ言葉だと思いますが、さらに発展的な内容を厳密に学習していきます。高校までは一変数関数の微分積分のみを学習しましたが、大学では多変数関数の微分積分である偏微分や重積分を学びます。

これらの微分積分学は工学系などの理系学生も学びますが、工学系の学生は計算方法などの実践的な内容を中心に学ぶのに対し、数学科を含む理学部の学生は定理の証明などの理論的な内容を中心に学びます。

微分積分もどの分野でも必要な知識です。理系必須科目ですね。

線型代数学とは

線型代数学では、行列と呼ばれる理論を中心に学習します。

用語解説 行列とは

行列とは、上の写真のように数を長方形状にならべたものです。行列は少し前まで高校生も学習していましたが、複素数平面と入れ替わりで学習しなくなりました。
行列は様々な見方がありますが、ベクトルをさらに拡張した理論と考えることもできます。

その他、線型代数学では数学上で言う空間とは何かを考えたりします。
これらの理論は理系の学生のみならず、経済学などにも用いられる理論であり、非常に重要です。

解析学とは

解析学は、代数学、幾何学と合わせた数学の3大分野の内の一つです。
解析学では関数、極限などが研究されます。解析学の最も初歩的な話は微分積分です。
1年生の解析学の授業では、最初に極限の厳密な定義であるε-δ(イプシロン-デルタ)論法を学習します。このε-δ論法を始め、微分積分の授業では取り扱わないような理論をしっかり学習します。

まとめ

このように、数学科の1年生は数学の基礎中の基礎の部分を徹底的に学習します。
今後専門的な数学を学ぶための準備段階なので、正直数学の面白さを実感できる場面は少ないです。

しかし、1年生で学ぶこれらの内容を蔑ろにすることは、今後より一層難しくなる数学の難易度をさらに上げることになってしまいます。卒業まで数学が彼女である数学科にとって、それはただ自分の首を絞めるだけのことです。

最初大学数学に慣れないのは誰もが同じことなので、しっかり授業を聞いて数学の基礎を身につけようとする姿勢が重要です。

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